AJH
Ecrit le: 02.06.05 21:33




 

Logiques multi-valuées

Allez voir le site de Norman Molhant
http://www.cafe.edu/sf/pl4c/ qui, aidé par de nombreux listeur, travaille activement sur la logique tétravalente et une éventuelle application.
Tout ça c'est en particulier issu de la NR-20 ( http://www.ummo-sciences.org/fr/NR-20.htm )


Amitiés

AJH



Tom
Ecrit le: 11.06.05 14:11





QUOTE
involution:
5.    -(-p)  =  p

identité - propriétés de l'univers :
14.    p | -p  =  U

...

principe du tiers exclu - ne s'applique pas en logique binaire c'était p | ¬p, ce principe est rejeté en logique tétravalente

Au moins deux formes dérivées du tiers exclus sont écrites dans cette page : l'assertion n°5 et la n°14.

Vous vous êtes trompé de chapitre quand vous avez recopié un manuel de logique. Vous avez confondu celui de la logique classique et celui de la logique intuitionniste.
De plus ce qui est décrit sur ce site n'est pas plus évolué qu'un algèbre de Boole à 4 valeurs : il n'y a rien d'extraordinaire à ça ! Et ce n'est pas plus puissant qu'un algèbre de boole à 2 valeurs. C'est pas en cherchant à mettre des valeurs de vérités partout que vous allez trouver quelque chose de nouveau.
toto
Ecrit le: 11.06.05 14:48






QUOTE
Logiques multi-valuées


C'est toujours mieux qu'une logique monovaluée biggrin.gif

QUOTE
Allez voir le site de Norman Molhant
http://www.cafe.edu/sf/pl4c/ qui, aidé par de nombreux listeur, travaille activement sur la logique tétravalente et une éventuelle application.


Je connais ce lien, le monsieur présente un sous-système ad hoc d'une algèbre de Boole à quatre éléments. Le système en question n'a apparamment aucune propriété algébrique intéressante.


QUOTE
... tout ça c'est en particulier issu de la NR-20 ( http://www.ummo-sciences.org/fr/NR-20.htm )


Dans cette lettre :
- exposition naïve d'une algèbre de Boole à quatre éléments ;
- allusion laborieuse aux algorithmes essais-erreurs (backtracking), classique des classiques en intelligence artificielle.

Plus sérieusement, si vous voulez vous attaquer aux logiques non classiques, commencez par lire « Introduction à la logique, Théorie de la démonstration » de René David, Karim Nour et Christophe Raffalli, chez Dunod. Puis, quand vous aurez assimilé les bases, vous pourrez attaquer « Constructivismin Mathematics. An Introduction » tomes 1 et 2, de Troelstra et Van Dalen. Attention, ces livres ne sont pas des introductions pour rien.

Pour un bon complément sur les algèbres de Boole, consultez « Logique mathématique » chapitre 2, de Cori et Lascar.

--
David Michel
Tom
Ecrit le: 11.06.05 15:56






C'est poilant de voir que pas un mec dans le coin n'a essayé de faire un état de l'art avant de sortir ses théories à quatre balles. biggrin.gif
Boris
Ecrit le: 12.06.05 11:13
Quote Post




QUOTE
C'est poilant de voir que pas un mec dans le coin n'a essayé de faire un état de l'art avant de sortir ses théories à quatre balles. biggrin.gif


C'est certain que quand on fait ça toute la journée, il est plus facile de se tenir au courant des nouvautés de la discipline.

>@8A.


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Spock: The odds of surviving another attack are 13562190123 to 1, Captain.
Aristide
  Ecrit le: 12.06.05 16:55




Bonjour!

Tom:
QUOTE
Au moins deux formes dérivées du tiers exclus sont écrites dans cette page : l'assertion n°5 et la n°14.

"Dérivées" est le mot-clé. Il ne s'agit pas du tiers exclu: ces deux lois excluent toute valeur logique qui n'est pas une des quatre valeurs T, F, B, N du système tétravalent. À la limite, vous pourriez dire qu'il s'agit d'une loi du quint exclu. sleep.gif No problem there, as you didn't fail to notice. wink.gif

Tom:
QUOTE
Vous vous êtes trompé de chapitre quand vous avez recopié un manuel de logique. Vous avez confondu celui de la logique classique et celui de la logique intuitionniste.

Il s'agit plutôt d'une variante intéressante de la logique pertinente, où Vrai = {T,B} et Faux = {F,B}. Mais peut-être ne vous tenez-vous pas au courant des récentes publications dans ce domaine? tongue.gif Je vous recommande donc un petit livret très simple paru en mars dernier aux P.U.F.: "Conséquences. Une introduction à la logique pertinente.", par Francois Rivenc, ISBN 2130537588.

Tom:
QUOTE
De plus ce qui est décrit sur ce site n'est pas plus évolué qu'un algèbre de Boole à 4 valeurs: il n'y a rien d'extraordinaire à ça !

Encore heureux! Si cette logique n'avait pas obéi à une algèbre de Boole à 4 valeurs, elle n'aurait pas pu correspondre à ce qui est esquissé dans les lettres oummaines, n'est-ce pas? biggrin.gif

Tom:
QUOTE
Et ce n'est pas plus puissant qu'un algèbre de Boole à 2 valeurs.

Auriez-vous l'amabilité, cher Tom, de donner votre définition du mot "puissant" dans ce contexte? cool.gif
La logique décrite n'obéit pas à une algèbre de Boole à 2 valeurs, vu qu'elle permet de traiter les valeurs logique "vrai-et-faux" {B} ainsi que "ni-vrai-ni-faux" {N} de la facon esquissée dans les lettres oummaines, comme prévu. Que lui demander de plus? rolleyes.gif

Toto:
QUOTE
Je connais ce lien, le monsieur présente un sous-système ad hoc d'une algèbre de Boole à quatre éléments. Le système en question n'a apparamment aucune propriété algébrique intéressante.

Tant mieux! Il eût été gênant que cette logique, bâtie sur la théorie archi-connue des ensembles, présentât des propriétés algébriques intéressantes. Cela eût été une indication très sûre d'une erreur dans le développement de cette logique, vous en conviendrez. smile.gif

Toto:
QUOTE
- exposition naïve d'une algèbre de Boole à quatre éléments;
- allusion laborieuse aux algorithmes essais-erreurs (backtracking), classique des classiques en intelligence artificielle.

Exposition naïve, dites-vous? Ne serait-ce pas plutôt une exposition simple, vulgarisée pour la mettre à la portée d'un public de non-mathématiciens, comme par exemple les participants à ce forum ou les membres des listes ummo-sciences? cool.gif

Toto:
QUOTE
Plus sérieusement, si vous voulez vous attaquer aux logiques non classiques,

Ce n'est pas le cas, que je sache. dry.gif Ce travail porte sur la logique esquissée dans les lettres oummaines. Il n'y a donc rien d'étonnant à trouver que cette logique obéisse à une algèbre de Boole, rien non plus d'étonnant à ce qu'elle se rattache à la logique pertinente. Au contraire, il eût été fort étonnant de découvrir dans ces lettres une logique sans liens étroits avec nos connaissances actuelles. Dès lors je ne vois pas dans quel but les participants à ce forum voudraient s'attaquer aux logiques non classiques, sujet fort intéressant, il est vrai, mais sans rapport aucun avec ce forum. wink.gif

Toto:
QUOTE
C'est toujours mieux qu'une logique monovaluée

Mieux qu'une logique monovaluée comme la logique aristotélicienne usuelle, voulez-vous dire! La logique aristotélicienne est directement représentable - comme vous le savez fort bien - en théorie des ensembles par l'univers monovalué {Vrai}, la valeur Faux y étant représentée par l'ensemble vide {}. wink.gif Vous avez sans aucun doute parfaitement raison: cette logique tétravalente vaut toujours mieux que la logique aristotélicienne. biggrin.gif Je constate avec plaisir que vous endossez donc pleinement et avec beaucoup d'humour ce travail de vulgarisation de la logique tétravalente esquissée dans les lettres oummaines. cool.gif C'est très encourageant! laugh.gif

Amitiés,
Ari.
Aristide
  Ecrit le: 13.06.05 14:48




Bonjour!

Tom:
QUOTE
C'est poilant de voir que pas un mec dans le coin n'a essayé de faire un état de l'art avant de sortir ses théories à quatre balles.

Ouaah! biggrin.gif
C'est de l'auto-ironie au second degré! laugh.gif
Cher Tom, vous ne vous êtes donc pas encore rendu compte que personne ici ne cherche à développer de nouvelle théorie logique? rolleyes.gif C'est franchement trop drôle! tongue.gif
On ne cherche ici qu'à formaliser la logique esquissée dans les lettres oummaines, Tom, dans le simple but de tester cette logique en pratique, rien de plus. Si vous espériez qu'on parle ici de logiques exotiques ou d'autres sujets tout aussi passionnants pour des mathématiciens ou des logiciens, je crains fort que vous ne soyez horriblement décu. Sorry! smile.gif

Amitiés,
Ari (Steed, pas Potter). cool.gif
Tom
Ecrit le: 18.06.05 07:56






Intervention du modérateur le 20 juin. Les aggressions verbales envers Norman ont été supprimées.

QUOTE
Bonjour!

Salut smile.gif

QUOTE
"Dérivées" est le mot-clé. Il ne s'agit pas du tiers exclu: ces deux lois excluent toute valeur logique qui n'est pas une des quatre valeurs T, F, B, N du système tétravalent. À la limite, vous pourriez dire qu'il s'agit d'une loi du quint exclu. No problem there, as you didn't fail to notice.

Mais qu'est-ce que tu racontes ? T'as déjà fait de la logique ? Tu me parle de règles syntaxiques !

De plus "p | -p = U" c'est bien un tiers exclus en bonne et due forme. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C'est pas en essayant de noyer le poisson que tu vas convaincre quelqu'un du bien fondé de ce que tu avances !

QUOTE
Il s'agit plutôt d'une variante intéressante de la logique pertinente, où Vrai = {T,B} et Faux = {F,B}. Mais peut-être ne vous tenez-vous pas au courant des récentes publications dans ce domaine? Je vous recommande donc un petit livret très simple paru en mars dernier aux P.U.F.: "Conséquences. Une introduction à la logique pertinente.", par Francois Rivenc, ISBN 2130537588.

Des logiques sont inventées tous les jours. Leur intérêt n'est pas toujours certain. Et je ne pense pas que vous vous teniez au courant des "dernières publications dans le domaine" xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Et "les dernières publications dans le domaine" ce n'est certainement pas un livre, vu le temps que met un livre à être écrit.

QUOTE
Encore heureux! Si cette logique n'avait pas obéi à une algèbre de Boole à 4 valeurs, elle n'aurait pas pu correspondre à ce qui est esquissé dans les lettres oummaines, n'est-ce pas?

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Bidouiller des tables de vérité c'est plus de l'électronique que de la logique.

QUOTE
Auriez-vous l'amabilité, cher Tom, de donner votre définition du mot "puissant" dans ce contexte?

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx. Ca veut tout simplement dire que ce système ne permet pas de faire plus de choses qu'un simple algèbre de boole classique à deux valeurs. Et ce qu'il fait il ne le fait pas plus rapidement. Ca peut être même beaucoup plus lent comme dans un problème combinatoire où l'espace de recherche n'est plus 2^n mais 4^n.

QUOTE
La logique décrite n'obéit pas à une algèbre de Boole à 2 valeurs, vu qu'elle permet de traiter les valeurs logique "vrai-et-faux" {B} ainsi que "ni-vrai-ni-faux" {N} de la facon esquissée dans les lettres oummaines, comme prévu. Que lui demander de plus?

Que veut dire "elle permet de traiter" ? Donnez moi des fonctions logiques ! Formalisez moi un paradoxe comme celui de Russel si il permet de le faire ! Il peut le faire ! Moi je peux courir le 100m en 5 secondes. Avec mes super NIKE IBOSO UU

QUOTE
Tant mieux! Il eût été gênant que cette logique, bâtie sur la théorie archi-connue des ensembles, présentât des propriétés algébriques intéressantes.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx N'empêche que c'est la première fois que j'entend parler de la théorie archi-connue des ensembles. Si vous aviez quelques connaissances en mathématiques vous auriez dit plutôt la théorie de Zermelo-Fraenkel. De plus vu que cette logique est exemptée de quantificateurs pourquoi ne pas nous restreindre à l'arithmétique de Peano ? Je suis certain que même l'arithmétique primitive récrusive est suffisante.

QUOTE
Cela eût été une indication très sûre d'une erreur dans le développement de cette logique, vous en conviendrez.

Hein ? Faut arrêter la fumette.

QUOTE
Ouaah!
C'est de l'auto-ironie au second degré!
Cher Tom, vous ne vous êtes donc pas encore rendu compte que personne ici ne cherche à développer de nouvelle théorie logique?

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

QUOTE
C'est franchement trop drôle! On ne cherche ici qu'à formaliser la logique esquissée dans les lettres oummaines, Tom, dans le simple but de tester cette logique en pratique, rien de plus.

Je n'ai vu aucune pratique ici. J'ai juste vu des délires sur des formules qui existent depuis perpette. Je suis curieux de voir comment ça va réagir quand les ummites aborderont l'aritmétique. Des gens vont se mettre à faire des tables d'additions à quatre balles et seront heureux.

QUOTE
Si vous espériez qu'on parle ici de logiques exotiques ou d'autres sujets tout aussi passionnants pour des mathématiciens ou des logiciens, je crains fort que vous ne soyez horriblement décu. Sorry!

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Sans rancunes tongue.gif
Sans rancune ?: AJH le modérateur
Boris
Ecrit le: 18.06.05 09:13
Quote Post




Tom,

Je vais admettre que vous êtes balèze en logique (on s'en fout, mais admettons).

Est-ce que cela fait de vous un ours mal léché au ton outrecuidant ?

À voir à quoi ressemblent vos interactions sociales sur ce forum et le ton de vos phrases, je suis heureux ne pas avoir fait autant de logique que vous. Parce que dans le cadre de la communication, de la psychologie et de la bienséance, permettez-moi de vous dire que vous êtes un grosse nullité.

B.



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Spock: The odds of surviving another attack are 13562190123 to 1, Captain.
AJH
Ecrit le: 18.06.05 09:16




Bonjour

A l'attention de TOM , de la part du webmestre

Que vous ne soyez pas d'accord, c'est votre droit , mais l'insulte, la prétention et l'outrecuidance ne sont pas de mise sur ce forum.
Dès que Norman aura pris connaissance de votre message, je l'effacerai.

Merci

AJH


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AJH
Aristide
Ecrit le: 19.06.05 23:40




Bonjour!

Tom se trompe sur la personne:
QUOTE
De plus "p | -p = U" c'est bien un tiers exclus en bonne et due forme.

Je suis anglophone, cher Tom, or mon dictionnaire francais-anglais et moi sommes d'accord pour comprendre le mot "tiers" comme synonyme de "troisième". Comme notre univers comprend quatre termes, le troisième ne peut en être exclu. Ici le signe "-" représente l'opérateur complément, qui retourne l'ensemble universel diminué de son argument.
Cette tautologie "p | -p = U" signale simplement que l'union de p et son complément forme toujours l'ensemble universel, donc que tout terme au-delà du quatrième - c-à-d: tout cinquième terme - est exclu.

Tom:
QUOTE
N'empêche que c'est la première fois que j'entend parler de la théorie archi-connue des ensembles. Si vous aviez quelques connaissances en mathématiques vous auriez dit plutôt la théorie de Zermelo-Fraenkel.

Et perdu immédiatement tous les participants aux listes ummo-sciences et au forum adummo. Très intelligent, très pédagogique, cette façon de faire, bravo! sad.gif J'ai déjà expliqué le travail qui se fait ici: formaliser la logique esquissée dans les lettres oummaines afin de pouvoir en tester l´utilité. Faire ce travail "en public" sur les listes ummo-sciences exige d'en limiter la formulation (le vocabulaire) à un niveau accessible à la plupart des participants, comme l'ont fait les auteurs des lettres oummaines. Si les limites de ce travail vous irritent, j'en suis franchement désolé. sad.gif
Comme la plupart des participants au forum adummo et aux listes ummo-sciences ont au moins terminé leur secondaire, il est probable qu'ils ont déjà rencontré la théorie des ensembles et qu'ils savent fort bien qu'il n'y a là rien de nouveau. D'où mon usage de la locution "la théorie archi-connue des ensembles".
Si l'intention pédagogique manifeste dans les lettres oummaines ainsi que ma propre intention vulgarisatrice vous sont insupportables, comme le ton de vos posts le donne à penser, vous m'en voyez fort chagriné. sad.gif Néanmoins veuillez noter que vous êtes seul maître de vos émotions et qu'il vous échoit de choisir votre ton et vos propos en fonction (1) de l'impact que vous désirez obtenir et (2) de l'image de vous que vous désirez projeter ici.

Tom:
QUOTE
De plus vu que cette logique est exemptée de quantificateurs pourquoi ne pas nous restreindre à l'arithmétique de Peano ?

La discussion sur les quantificateurs a déjà commencé sur la liste [PHYS] de ummo-sciences, les pages correspondantes seront bientôt ajoutées au site PL4C, sitôt que la partie concernant la skolemization aura été complétée. Comme je l'ai déjà indiqué, il s'agit d'un travail en cours.

Tom:
QUOTE
Ca veut tout simplement dire que ce système ne permet pas de faire plus de choses qu'un simple algèbre de boole classique à deux valeurs.

Dans ce cas, soyez gentil d'expliquer ici comment votre algèbre de Boole à deux valeurs (Vrai et Faux, je suppose) permet d'exprimer les formules tétravalentes suivantes (qui sont triviales):
1. Vrai & Faux = B
2. Vrai | B = Vrai
3. Faux | B = Faux
4. Vrai & B = B
5. Faux & B = B
6. Vrai | Faux = -N
7. Vrai & -N = Vrai
8. Faux & -N = Faux
9. Vrai | -N = -N
10. Faux | -N = -N
La formulation plus simple et plus claire de la logique tétravalente oummaine dont vous ferez usage dans cette explication ne manquera pas d'intéresser vivement les participants aux listes ummo-sciences et à ce forum adummo.

Mille mercis.
Ari.
 
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Boris
Ecrit le: 21.06.05 18:06
Quote Post




Maintenant que c'est un peu plus calme, on peut poser éventuellement une question.

Y a-t-il un volontaire quelque part pour m'expliquer ce que devient le mécanisme de preuve par l'absurde ?

.



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Spock: The odds of surviving another attack are 13562190123 to 1, Captain.
Aristide
Ecrit le: 21.06.05 21:54




Bonjour Boris!

QUOTE
expliquer ce que devient le mécanisme de preuve par l'absurde ?

C'est simple: en tétravalence, la preuve par l'absurde n'est pas admissible, parce qu'elle repose sur le principe de non-contradiction, principe qui est valable en logique dichotomique mais pas en logique tétravalente façon oummo.

Le principe de non contradiction, c'est la règle "NON (A ET (NON A))" qui spécifie qu'on ne peut avoir simultanément vrais une assertion et sa négation.
Transposé en logique tétra (où le complément remplace la négation), ce principe devient la loi de complémentarité "(A & -A) = {}" qui spécifie qu'on ne peut avoir simultanément vrais une assertion et son complément.

Le mécanisme de preuve par l'absurde fonctionnait comme suit:
- soit l'assertion A = VRAI qu'on veut prouver
- posons que A = FAUX, c-à-d: posons NON A
- partant de NON A et des autres assertions du système, déduisons une contradiction, par exemple "VRAI ET FAUX"
- le fait que nous avons déduit une contradiction indique que l'assertion NON A contredit les autres assertions du système, donc NON A = FAUX, donc NON (NON A) = VRAI, donc A = VRAI.

En tétravalence, cela se transposerait comme ceci:
- soit l'assertion A < VRAI qu'on veut prouver (rappel: VRAI = TB, le signe < désigne l'appartenance)
- posons que A < -VRAI, c-à-d: posons A < FN
- partant de A < FN et des autres assertions du système, déduisons une contradiction, par exemple "VRAI & FAUX", c'est-à-dire "TB & FN"
- la valeur logique de TB & FN, c'est l'ensemble vide {}, donc partant de A < FN et des autres assertions du système nous avons déduit l'ensemble vide
- une de nos règles de raisonnement tétra exige de supprimer toute branche de raisonnement qui aboutit à l'ensemble vide, donc ici nous supprimons toute la branche partant de A < FN
- nous avons donc supprimé l´équivalent tétra de tout le raisonnement formant la preuve par l'absurde, il ne nous reste alors pas de preuve pour l'assertion A < VRAI, qui n'est dès lors pas prouvée

On pourrait imaginer qu'en faisant ce raisonnement on a prouvé que A n'est pas dans FN, donc que A est VRAI, mais ce n'est pas le cas:
1. si on avait vraiment prouvé que A n'est [pas dans FN, on n'aurait pas pour autant prouvé que A est VRAI, parce que A pourrait aussi être dans l'ensemble vide (ce qui revient à dire que l'assertion A serait illogique)
2. en fait on n'a même pas prouvé que A n'est pas FN, on a simplement prouvé que l'assertion A est FN mène à une erreur de logique (qui pourrait par exemple être due à une erreur de logique dans une autre assertion du système).

Est-ce plus clair, Boris ?

Amitiés,
Norman.
Boris
Ecrit le: 22.06.05 13:56
Quote Post




QUOTE
Est-ce plus clair, Boris ?

Amitiés,
Norman.


Merci, c'est certainement plus clair. Du moins cela me conforte dans ce que j'ai bien cru comprendre.

Maintenant, j'ai une plus grosse inquiétude. Que deviennent tous les théorèmes généralement admis depuis des lustres (notamment lorsque le mécanisme de preuve par l'absurde est utilisé, mais je ne me restreins pas qu'à celles-là) où le principe de raisonnement repose sur un schéma manichéen (Vrai-Faux) ?

Devons-nous tout repenser ? La géométrie, l'algèbre linéaire, la géométrie différentielle, la topologie, ..., les ordinaux limites existent-ils alors encore dans ZF ? etc.

Ou pour le dire autrement : le film de l'été s'appelle-t-il The return of Bourbaki ?

Amitiés,

>@8A.


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Spock: The odds of surviving another attack are 13562190123 to 1, Captain.
Aristide
Ecrit le: 30.06.05 16:14




Bonjour Boris!

QUOTE
Maintenant, j'ai une plus grosse inquiétude. Que deviennent tous les théorèmes généralement admis depuis des lustres (notamment lorsque le mécanisme de preuve par l'absurde est utilisé, mais je ne me restreins pas qu'à celles-là) où le principe de raisonnement repose sur un schéma manichéen (Vrai-Faux) ? Devons-nous tout repenser ? La géométrie, l'algèbre linéaire, la géométrie différentielle, la topologie, ...

Certainement pas tout repenser. Néanmoins il y a certains domaines pour lesquels il faudra repenser ou à tout le moins réviser en profondeur les acquis actuels. Certains pans de la philosophie, par exemple, et certains pans de la physique, il y a des remarques à ce sujet dans les lettres parlant logique tétra. Je pense aussi que l'ensemble des "sciences humaines" a sérieusement besoin d'une telle révision, tout comme de larges pans de la médecine (entre autres tout ce qui touche de près ou de loin au psychisme), de la biologie, de l'écologie, etc. Bref tout ce qui touche de près ou de loin à l'étude des systèmes complexes (la systémique) ou à l'ingénierie des systèmes complexes (la systématique). L'écosystématique (la systématique de l'écosystème terrestre) et la symplegmatique (la systématique des groupes humains) n'y échapperont sûrement pas. Je pense que cela affecte aussi la morale (contrat de base des sociétés humaines), la politique, l'économie et un tas d'autres domaines trop complexes pour les pauvres moyens de la logique vrai/faux.

QUOTE
les ordinaux limites existent-ils alors encore dans ZF ?

C'est en maths que la logique tétra change le moins de choses. Étant un praticien de la logique (depuis plus de 30 ans) plutôt qu'un théoricien, je ne peux pas te préciser quels domaines des maths seront affectés, ni comment... En fait, je ne vois pas la logique tétra comme une révolution en maths ou en logique, je pense que la révolution sera plutôt dans les applications de la logique, parce qu'il s'agit là d'une logique
1.- qui appartient à une classe dont la théorie nous est fort bien connue (les algèbres de Boole),
2.- que nous n'utilisons pas en pratique, nous contentant (parfois à tort) de la logique dichotomique d'Aristote, plus simple (mais d'application moins générale),
3.- qui permet de traiter des problèmes réels plus complexes où la logique vrai/faux nous fait déconner (comme en politique ou en économie, par exemple).

Voilà, voilà, voilà!

Amitiés,
Ari.
Boris
Ecrit le: 10.07.05 14:40



Mmmh Mmmh ...

Les mathématiciens démontrent que les nombres naturels ne peuvent être mis en bijection avec les nombres réels (ils sont dits en nombre infini non dénombrables). Ainsi, il y a une infinité de nombres, mais il y a un infinité (vachement) plus grande de nombres réels. La technique utilisée s'appelle, je pense, la diagonale de Cantor, et il s'agit d'une preuve par l'absurde.

En calculabilité, on étudie ce qu'il est possible de faire avec un ordinateur. Un des gros problèmes est par exemple de déterminer à coup sûr les méchants programmes. Plus concrètement, on se demande s'il y a moyen d'écrire un anti-virus universel qui une fois pour toute permettrait d'y voir clair. Ce programme qui soulagerait notre vie quotidienne (sous Windøws du moins) n'existe pas. La calculabilité établit ce résultat à l'aide d'une démonstration par l'absurde.

Toujours en calculabilité, un autre problème est de savoir si un programme un jour s'arrêtera, ou s'il continuera indéfiniment de fonctionner ou calculer des choses (ce qui ne nous permet jamais de connaître le résultat de son travail). Ce problème porte le nom de Problème de l'arrêt, et pose la question de savoir si on peut écrire un programme qui permettra de savoir si un autre programme s'arrêtera un jour. Autrement dit, peut-on demander à un ordinateur de déterminer lui-même si le programme qu'il fait tourner s'arrêtera (j'espère que tout le monde me suit, là). Et la calculabilité établit ce résultat, encore une fois, par l'absurde.

...

Comprenez-vous, Aristide, que la tétravalence, je me demande un peu jusqu'où cela peut aller ? À moins que quelqu'un ici ne sorte des versions dites constructivistes de ces démonstrations ...

>@8A.


--------------------
Spock: The odds of surviving another attack are 13562190123 to 1, Captain.
Aristide
Ecrit le: 11.07.05 01:06


Bonjour Boris!

QUOTE
Les mathématiciens démontrent que les nombres naturels ne peuvent être mis en bijection avec les nombres réels (ils sont dits en nombre infini non dénombrables). Ainsi, il y a une infinité de nombres, mais il y a un infinité (vachement) plus grande de nombres réels. La technique utilisée s'appelle, je pense, la diagonale de Cantor, et il s'agit d'une preuve par l'absurde.

L'existence d'une preuve par l'absurde (valable en logique vrai/faux) n'implique pas l'inexistence d'une preuve directe. Pour ce qui est de démontrer que Aleph-un n'est pas égal à Aleph-zéro, nos profs (sans doute très paresseux, mais c'était il y a bien longtemps) s´etaient contentés de nous montrer que les nombres réels >= 0 pouvaient être mis en bijection avec les paires de nombres entiers >= 0 (c'est trivial), puis de nous montrer que ces paires d'entiers peuvent former un réseau régulier 2 dimensionnel dont les noeuds sont numérotables par les paires d'entiers mais pas par les entiers seuls (contient une infinité d'infinités de noeuds) - grosso-modo, numéroter le long d'un des axes du réseau épuise les entiers, or il faut aussi numéroter le long de l'autre axe, ce qui exige donc plus de nombres qu'il n'y a d'entiers, donc Aleph-un > Aleph-zéro (en fait: Aleph-un = Aleph-zéro au carré). A ma connaissance, nos profs n'avaient pas fait usage d'une preuve par l'absurde pour démontrer cela.

QUOTE
En calculabilité, on étudie ce qu'il est possible de faire avec un ordinateur. Un des gros problèmes est par exemple de déterminer à coup sûr les méchants programmes. Plus concrètement, on se demande s'il y a moyen d'écrire un anti-virus universel qui une fois pour toute permettrait d'y voir clair. Ce programme qui soulagerait notre vie quotidienne (sous Windøws du moins) n'existe pas. La calculabilité établit ce résultat à l'aide d'une démonstration par l'absurde.

La démonstration la plus simple est basée sur le fait qu'il faut un critère d'extension finie pour déterminer si un logiciel contient ou non un virus. Une fois ce critère connu, il est forcément contournable, puisque son extension est finie. J'ai un vague souvenir d'une démonstration directe par Dijkstra que tout test binaire d'extension finie est inversible et donc contournable.

QUOTE
Toujours en calculabilité, un autre problème est de savoir si un programme un jour s'arrêtera, ou s'il continuera indéfiniment de fonctionner ou calculer des choses (ce qui ne nous permet jamais de connaître le résultat de son travail). Ce problème porte le nom de Problème de l'arrêt, et pose la question de savoir si on peut écrire un programme qui permettra de savoir si un autre programme s'arrêtera un jour. Autrement dit, peut-on demander à un ordinateur de déterminer lui-même si le programme qu'il fait tourner s'arrêtera (j'espère que tout le monde me suit, là). Et la calculabilité établit ce résultat, encore une fois, par l'absurde.

Je me souviens en effet d'une démonstration par l'absurde de l'absence de solution au problème de l'arrêt, mais j'ai aussi le souvenir d'une démonstration directe rapidement esquissée, basée sur la construction d'un programme non déterministe extrêmement simple dont il est impossible de savoir s'il va se terminer au prochain tour, quel que soit le tour.

Bref, dans les 3 cas cités, les démonstrations par l'absurde sont des détails historiques sans importance, vu que d'autres démonstrations existent ou peuvent exister.

Note: Edsger W. Dijkstra était un spécialiste des démonstrations sobres et élégantes (entre autres dans le domaine de la calculabilité - merci pour ce mot, Boris, j'utilisais "computability" sans le traduire jusqu'à présent -), tout comme certains de ses étudiants (W.H.J. Feijen me vient à l'esprit), dont j'admirais la prédilection très marquée pour les démonstrations directes (constructivistes).

QUOTE
Comprenez-vous, Aristide, que la tétravalence, je me demande un peu jusqu'où cela peut aller ?

Je ne me pose pas la question: je em contente de travailler à construire un outil permettant de tester cette logique tétra. On verra bien ce qu'on arrivera à en tirer.

Amitiés,
Ari.